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https://archive.org/details/dictionnairedess03unse

DICTIONNAIRE

DES SCIENCES

MATHÉMATIQUES.

OUVRAGES DU MÈME AUTEUR

QUI SE TROUVENT AU BUREAU DE LA BIBLIOTHÈQUE SCIENTIFIQUE.

COURS ÉLÉMENTAIRE DE MATHÉMATIQUES PURES, suivi d’une exposition des principales branches des Mathématiques appliquées. 2 vol. in-8°, grande justification , contenant : l’Arithmétique, l’Algèbre , la Géométrie, les deux Trigonométries, les Culculs différentiel et intégral , la Géométrie analytique, la Statique, la Dynamique, l’Astronomie, la Gnomonique, la Catoptrique , la Diop- | trique, la Perspective et un traité du Calendrier. Prix : . . .. OS 0 10. 5

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IMPRIMERIE DE M°° DONDEY-DUPRÉ ; RUE SAINT-LOUIS ; 46, AU MARAIS.

DICTIONNAIRE

DES SCIENCES

MATHÉMATIQUES

PURES ET APPLIQUÉES,

PAR A. S. DE MONTFERRIER ,

MEMBRE DE L'ANCIENNE SOCIÉTÉ ROYALE ACADÉMIQUE DES SCIENCES DE PARIS, DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE MARSEILLE, DE CELLE DE METZ, ETC., ETC.

TOME TROISIÈME. SUPPLÉMENT.

CONTENANT PLUSIEURS ARTICLES SUR LA Géodésie, La Trigonométrie xt L'Astronomie,

PAR M. LE COLONEL PUISSANT, MEMBRE DE L’ACADÉMIE DES SCIENCES, ZTC., ETC. , ETC

PARIS,

AU BUREAU DE LA BIBLIOTHÈQUE SCIENTIFIQUE,

60, RUE DE VAUGIRARD.

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1840

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- SCIENCES

PURES ET

ABE

ABERRATION. (4str.) Les formules d’aberration en scension droite et en déclinaison énoncées dans le pre- aier volume de ce dictionnaire (pag. 10), bien qu'elles oient sous une forme très-simple, ne sont cependant as celles dont les astronomes font ordinairement usage ourconstruire des tables particulières ou nérales; voici ne application fort élémentaire du calcul différentiel et e la géométrie aux trois dimensions qui conduit à ces ernières formules de la manière la plus directe.

Le rayon de la sphère céleste sur laquelle on projette ous les astres pouvant être pris arbitrairement, suppo- ons-le égal au rayon vecteur r de la terre; supposons plus que ce rayon représente la vitesse de la Jumière ; lans ce cas, le parallélogramme d’aberration s’étendra iécessairement jusque dans la région de l'étoile que ’on considère, et l'extrémité de la diagonale qui y est si- uée marquera à toute époque de l’année le lieu apparent le cette étoile. Or, cette diagonale ne différant de la dis- ance r que d’une quantité extrêmement petite, on ourra la représenter par r H dr.

Cela posé , rapportons la position de l'étoile à trois xes rectangulaires æ, y, #, dont le plan des deux pre- laiers soit l'équateur céleste; prenons pour origine des loordonnées le centre de ce cercle ou celui de t considérons l'axe des æ commela ligue des équinoxes; nfin, désignons par A l'angle que la projection de la

listance de la terre à l'étoile, sur le plan des y, fait To mi,

la terre.

Mat al mat i

DICTIONNAIRE

DES

MATHÉMATIQUES

APPLIQUÉES.

ABE

avec l’axe des æ, et par D l’angle que cette même dis- tance fait avec ce plan; on aura, par les principes de la

trigonométrie rectiligne..…... (1) x=r cos À. cosD, y=r sin A. cos D, z=r sin D;

d’où l’on tire... (2)

tang AS, x par,

Il est évident que A et D sont respectivement l'ascen- sion droite ct la déclinaison vraies de Pétoile, et que pour passer du lieu vrai au lieu apparent qui en est trèts proche, il suflit de faire varier tous les élémens du pre- mier. Ainsi, en différentiant les équations (2), il vien- dra..….. (3)

rdr «dx + ydy + :dz.

Maintenant soit ds le petit are de 20"255 que la terre décrit en 499’2 de temps, et nommons », 5, 7 les angles que cet élément, considéré comme rectiligne, fait avec les axes des coordonnées; on aura évidemment, en transportant ce mouvement dans la région de l'étoile ou

aux confins de la sphère céleste... (4)

£ dy dz = or En C p = COS y. gr 7e 008 4, cos B; FA Y

LA

| 304775

2 ABE

Multipliant et divisant par ds le second merbre de la première équation différentielle (3), il viendra

dA PATES cos & tang À) cos A; æ

Al: n # LA NU enfin, éliminant æ au moyen de sa valeur (1), l’aberra-

tion en ascension droite sera... (@) :

LAt— pus

Sc D (cos 8 cos À cos a sin À); cos

ds , ; J : le rapport étant celui de la vitesse de la terre à la ‘hr vitesse de la lumitre. La troisième équation (1) différentice donne par le

même procédé

dz are T CEE ee À = cos D'aD re de in D —+- de co dD, d’où ds dr dD => * cos D (cos 7 2 4 sin D).

Mais la seconde équation différentielle (3) pouvant s'é- crire ainsi :

dr _ædx | ydy , xd

ds 7 ds r ds À r ds’

il est facile de voir que l’on aura pour l’aberration en déclinaison... (d)

ds see Nes dD=— cosycosD sin D (cosæcos A+ cos sin A). r

Les formules (&) et (d) renferment les angles &, 6, , qu'il faut éliminer. Pour cet effet, soit YBC l'équateur (PL 1, fig. 1), YTT' l’écliptique, S le soleil, T la terre, Y le point équinoxial, TR une tangente à l'orbite ter- restre supposée circulaire, ST une parallèle à cette tan- gente, o l’obliquité de l’écliptique ou l'angle TYB ; enfin X, Y,Z trois axes passant par le centre du soleil et res- pectivement parallèles aux axes x, y, Z menés par le centre de la terre. Le triangle sphérique 1 BT’ dans le- quel YT' = &, BT $ et YB 90° donne

COS 6 sin &. COS w;

le triangle sphérique dont les sommets sont Y, L’ et le point l’axe de Z rencontre la surface de la sphère céleste, donne

COS y sin a. sin w;

et dans le triangle rectiligne RTS rectangle en T, l'angle Er 4 K , .

YST est ce qu'on nomme la longitude hétiocentrique » de la terre T; enfin l’anglex = go. .

D'un autre côté, lorsque la terre est en T, le soleil S parait sur l’écliptique en S', et sa longitude que uous

AJU

désignerons par L=— 180° + v étant introduite dans]

valeur de « on aura . & a —= L 90°; ct, par conséquent, sin « Cos£L, cos x sin L.

à

à ds geront en celles-ci, en faisant attention que nn |

sn « 20255 0 aber. en A=— —== (coswcos À cos L + sin À sin cos D | aber, en D 20255 sin D (— coswsinAcos}k !

—- cos Asinl

20255 sin w cos D cos L,

Les tables d’aberration insérées à la page 115 desæ ditions à la connoissance des temps pour 18533 onté| calculées à l’aide de ces formules, 20255 cos:

18'5806 et 20"255 sin w 8"0658, parce que l' quité de l’écliptique répond à très-peu près à cet! époque. |

Quant aux nouvelles tables d’aberration et de nutatio!

pour les planètes dressées par M. Puissant, qui a bit

voulu nous communiquer cet article, voyez la Connai

sance des temps pour 1818,

AGENT-MOTEUR, (Méc.) Voy. Moteur. AJUTAGE ou AJUTOIR. (Æydraul.) Petit tux qu’on-adapte à un réservoir ou à l’extrémité d’un tuyk de conduite pour faciliter l'écoulement d’un fluide. | L'influence des ajutages sur la vitesse du fluide q s'écoule et par conséquent sur sa quantité ou sur la d pense du réservoir, se manifeste d’une manitre déte! minée dans les trois cas suivans, lorsque l’'écouleme! s'effectue d’ailleurs à gueulê bée à tuyau plein, pr mitre condition essentielle. | Un ajutage cylindrique, de même diamètre qu l'orifice pratiqué dans la paroi mince du réservoir, fou nit une dépense d'environ un tiers plus grande ql celle qui aurait lieu par cet orifice. Pour tenir comp de cette circonstance dans la pratique, il faut calculer dépense théorique de l’orifice et la multiplier par Le fa teur constant 0,82. Ainsi, l'expression générale de. dépense théorique, pour un orifice circulaire pratiqu dans la paroi mince d’un réservoir à niveau constah! étant s

D— (15,9145)r'41/h "

dans laquelle r désigne le demi diamètre de l'orifie t la durée en seconde de l’écoulement, et k la hauteur, mètres, du niveau du réservoir au-dessus du centre (

ALT

rifice (Voy. HypRoDYNAMIQUE, (0m. 11, pag. 90), la pense réelle par l’ajutage sera

D— (11,4099) r'4/A

{rmule qui donne la valeur de D en mètres cubes. Elle

| réduit simplement à... (i)

L D—(11,4099) r'1/A

ne considérant que la ‘quantité d’eau écoulée dans he seconde. | Soit par exemple r— 0"1 et À 2 mètres; on aura

D—(11,4099) (0,01) (14142) —0 m. c. 161559; *

lst-à-dire que la dépense réelle est, dans ce cas. de

0, 4

51957 centimètres cubes par seconde.

Un ajutage conique convergent (PI 1, fig. 2) ou lus large à l’orifice cd du réservoir qu’à son extrémité , augmente la dépense d'écoulement dans un rapport jcore plus grand, mais qui parait varier avec l’angle : convergence. Dans le cas le plus favorable, cet

hgle est de 12 à 15 degrés, on obtient la dépense réelle

[ multipliant la dépense théorique par le facteur con- ant 0,99. La formule générale devient alors... (2)

| D—(15,2188)r°1/4

désignant le demi-diamètre de l’orifice cd.

| 5e Les ajutages coniques divergens, c’est-à-dire ceux bnt la plus petite base cd (PE. 1, fig. 5) est ajustée à prifice du réservoir, présentent la particularité très-re- arquable de fournir une dépense réelle plus grande \1e la dépense théorique. Il est reconnu qu’un tel aju- ge ayant en longueur neuf fois le diamètre de sa petite

anse, peut donner une dépense réelle une fois et demie jus grande que la dépense théorique de l’orifice simple; à peut donc employer pour calculer la dépense réelle ; formule... (3)

D=(20,8517)r°1/h

étant toujours le demi-diamètre de l’orifice du ré- ;rvoir. | " . . . . ,

On pourrait construire des ajutages qui, loin d’aug- Lenter la dépense, seraient susceptibles de la diminuer h établissant des renflemens dans leur intérieur, car tout

» qui peut occasionner un changement de direction “oduit dans les molécules fluides une diminution de vi- ,sse. (Voy. ÉcouLemExT pes rLuIDES.) |

ALTERNATIF. (Mée.) Mouvement alternatif. C’est lui qui présente une répétition périodique de rétro- radations ou de changement de direction dans un sens irectement opposé. On le nomme aussi mouvement 2 va et vient, Tel est le mouvement d’ascènsion et de

ALT 3

descente du piston d'une pompe; celui de la marche d’un rouet à filer, etc., ete. I n'existe que deux espèces principales de mouve- ment : le mouvement rectiligne et le mouvement cur- viligne; mais chacun de ces mouvemens peut être con- tinu ou alternatif; ainsi, dans la mécanique pratique,

on doit considérer les quatre mouvemens généraux suivans :

1... . Mouvement alternatif rectiligne. 2. . . . . Mouvement alternatif curviligne. 3. . . . . Mouvement continu rectiligne. 4... . . Mouvement continu curviligne.

Parmi les mouvemens curvilignes, on distingue par- Hiculiérement les mouvemens circulaires, comme ceux qui se présentent le plus fréquemment dans les machi- nes; par exemple, une roue qui tourne a un mouvye- ment circulaire continu, et un pendule qui oscille a un mouvement circulaire alternatif.

La transformation de ces divers mouvemens les uns dans les autres forme la partie la plus importante de la science des machines: nous la traiterons en détail au

imot COMPOSITION DES MACHINES.

ALTITUDE. (Géog.) Mot consacré maintenant en géodésie pour désigner la troisième coordonnée géogra- phique d’un objet; c’est, autrement dit, sa hauteur au- dessus du niveau moyen de l'Océan. Ainsi la position d’un lieu sur la terre ou près de sa surface est parfaitement connuc par sa latitude, sa longitude et son altitude ou sa hauteur absolue. -

La détermination de cette hauteur est ordinairement du ressort de la trigonomeétrie rectiligne ; mais dans cer- tains cas elle dépend d'observations barométriques faites simultanément au niveau des mers et à la station que l’on veut signaler géographiquement. (Voy. ALTIMÈTRIE, tome 1, pag. 63.) Souvent aussi l’altitude d'un point se compose de celle d’un autre point connu augmentée ou diminuée de leur différence de niveau, et le calcul de cette différence fait partie de ceux auxquels donne lieu toute triangulation qui forme le canevas de la carte d’un pays. Donnons une idée de ce nivellement trigonomé- trique.

Indépendamment du relévement des angles entre les objets terrestres, pour connaître, au moyen d’une base mesurée, leurs distances respectives, on observe leur hauteur ou dépression angulaire, ou bien leur distance au zénith, quand on opère avec le cerele répétiteur de Borda. Alors le lieu de la station, qui est un sommet de triangle, se trouvant mis en comparaison avec les autres sommets environnans, il en résulte qu’on peut connaître la différence de niveau de deux sommets consécutifs,

Si, par exemple, du point A (PL 1, fig. 7). sur la terre

4 ALT

sphérique, on obsérve la distance 2énithale ZAD == d du point D, et que l'arc AB compris entre les verticales ZC, Z'C et représentant la distance horizontale des deux points comparés soit, en même temps, un côté K de triangle, ce côté sera connu : ainsi l’on aura à résoudre le triangle DAB. Or, l'angle BAG == 90° +C, l'angle DAB = go°— (9-— +C), l'angle ADB = 6 C, et la base AB—K; on a donc

K cos (d— +0) DB= —--—"""- ou, à tres-peu pres,

DB = K cot d L 1: - ) } RÊr R

C étant l'angle des deux verticales ZC, ZC et R 6566198 mètres le rayon moyen de la terre; au-

quel cas C évalué en secondes sexagésimales a pour

Ko TT valeur Fa Mais il est plus exact de prendre au à SIn 1

lieu de R la normale au point A de l’ellipsoïde de révo- lütion. (Foy. TRIGONOMÉTRIE SPHÉROÏDIQUE. )

Cette formule suppose que la réfraction terrestre est insensible, mais le plus souvent la distance zénithale en est tellement affectée, que pour corriger l'effet de ce phénomène sur la valeur de DB il est nécessaire de la

RC n F : diminuer de fs # étant ce qu'on nomme le cocfli- cient de la réfraction, lequel 0,08, valeur moyenne. (Voy. RÉFRAGTION TERRESTRE. )

Lorsque Ja distance zénithale du poiut A a été prise aussi du point D, à peu près dans les mêmes circon- stances atmosphériques, la formule qui donne alors la

différence de niveau DB est celle-ci :

K sin ? (90)

DB:= : + cos + (d 9 + C)

assez exactement DB K tang : (9 9)

à cause de l’extrème pelitesse de GC. Ainsi ces deux fer- mules sont indépendantes de la réfraction.

Pour avoir maintenant l'altitude du point D, il est vi- sible qu'il faudrait, d’après le cas de la figure, ajouter à la hauteur absolue de A la différence de niveau DB.

. Enfin, si d’un lieu D élevé l’on voit l’horizon T de la mer, ct qu'on en mesure la dépression A=—3—90°, la hauteur absolue DB—H de ce lieu sera , à cause de la

propriété du triangle rectangle DEC, H=—:2R (1 n)"tang tA

#n désignant comme ci-dessus Je coefficient de la ré- fraction.

ANA

L'application de ces formules est trop simple pou nous y arrêter; au surplus, on peut consulter à cet égart les traités spéciaux.

(Article communiqué par M. Puissant.)

ANAMORPHOSE. (Persp.) On donne ce nom à tout représentation défigurée d’un objet, faite sur une sur face plane ou courbe, qui parait régulière et exacte lorss qu'on Ja regarde d’un point de vue déterminé.

La construction des anamorphoses planes n’exige pa d’autres principes que ceux de la perspective linéaire, s'exécute tres-facilement par la méthode du treillis per speclif (om. mn, pag. 2G8). Ayant tracé, par exemple le carré ABCD (PL 1, fig. 8) d’une grandeur arbitraire et l'ayant divisé en plusieurs autres petits carrés, on ÿ dessinera, dans ses proportions exactes, la figure dont on veut ayoir une apparence monstrucuse, Ceci fait, of lirera une droite ab (fig. 9), égale au côté AB du carré et on la divisera en un même nombre de parties égales que ce côté; sur le milieu @ de cette droite, on mis era la perpendiculaire eA, Jongue à volonté, puis d@ chaque point de division 4, 1, 2, 3, 4, 5, bon tirera uné& droite au point A. À ce même point À on élèvera sur eA la perpendiculaire AV, d’antant plus petite par ra port à eA qu'on voudra rendre l’anamorphose plus dif forme, et on joindra les points V et b par la ligne VW Par les points d’intersections de Vb avec les lignes Ad A1, Ac, A5, elc., on mènéra ensuite les droites ed, ef, gh, ete. parallèies à ab et on aura le treillis perspectil abed , dans lequel il n’y aura plus qu'à distribuer trails de la figure tracée dans le carré ABCD, en ayan soin de placer proportionnellement dans chaque trapèrzé ceux qui se trouvent dans le petit carré correspondant On aura de cette manière une image monsirueuse qui paraitra néanmoins semblable à celle du carré ABCD si pour la regarder, on place l'œil au-dessus du point A Ja distance AV.

L'espèce de réseau ABCD, sur lequel on dessine k représentation exacte de l’objet, et qui peut être tout autre chose qu'un carré, reçoit le non de prototype er ticulaire; sa perspective abcd prend celui d'ectype crd ticulaire. Le problème de décrire une anamorphose su une surfacé quelconque se réduit évidemment à celu de tracer sur cette surface un ectype qui paraisse semk blable au prototype, l'œil étant placé au point de vues

Proposons-nous d'abord de tracer une anamorphos sur la surface convexe d'un cône droit, et supposons, pot plus de simplicité, que le côté de ce cône soit le doubl du diamètre de sa base, Décrivons le cercle ABCDE (PL 1, fig. 10), égal à la base du cône, et divisons 8 circonférence en un nombre quelconque de partié égales AB, BC, CD, etc. Par chaque point de divisiol menons un rayon, et après avoir divisé un de ces rayons

ANA

à par exemple, en un nombre quelconque de parties lales o1, 12, 25, ete. Décrivons avec les rayons 01, 09, , descirconférences concentriques. La figure ABCDEF ra le prototype craticulaire sur lequel il faut dessiner mage exacte de Pobjet dont on veut avoir lanamor- 10e.

ig. 13), égal à quatre foisie rayon

A de la base du cône, décrivons un quart de cercle

Avec un rayon ca (f

a; le quart de circonférenee aa sera égal à la cir- nférence entière ABCDEF, et le quart de cerele aod' ra le développement de la surface convexe du cône, x laquelle, par conséquent, on pourra replier exactc- ent ce quart de cercle. Divisons l'arc aa’ en un même pmbre de parties égales que la circenférence du pro- hype, et, par tous les points de division, menons des boites au centre 0. Prolongeons o4' d’une quantité oV, rale à l'élévation que nous voulons donner à l'œil au- sus du sommet du cône, et tirons la droite Va; du bint comme centre, avec Vo pour rayon, décrivons hre om; divisons cet arc en autant de parties égales he le rayon OA du prototype, ct, par Lous les points

B division, tirons des rayons qui rencontrent 04

hx points 1, 2,.3. Du centre o avec les rayons I, 02, 09, décrivons des arcs concentriques, ct la fi- he aoa' sera l'ectÿpe craticulaire; en le roulant sur , surface du cône et en plaçant l'œil à une distance 0V P son sommet, cel ectype paraitra exactement serbla- ke au prototype ABCDEF. On aura donc une anamor- hose conique en distribuant dans les subdivisions de eetype les projections des traits de la figure placés ans les subdivisions correspondantes du prototype.

La même construction peut s'appliquer à toutes les

yramides régulières en opérant sur les cercles circon- rits aux polygones de leurs bases.

| On simplifie considérablement la construction de toute ipèce d’anamorphose par le procédé mécanique sui- ant. Apres avoir percé avec une pointe très-fine le rototype dans toutes ses lignes de contour, on l’expose la lumière d’une bougie et on marque sur la surface ù l’on veut décrire l'anamorphose les endroits tom- ant les rayons Jumineux qui passent par les trous. Ces idroits sont les points correspondans de Panamorphose w62 peut ensuite achever lrès-facilement, Le point de ne se trouye déterminé par la place du foyer lumineux. | Pour rendre l'illusion plus complète, on ne doit re- arder les anamorphoses que par un petit trou fait au lieu d’un carton ou de tout autre corps opaque qui les ole des objets environnans.

Les propriétés des miroirs cylindriques, coniques ct yramidaux , permettent encore de tracer des anamor- hoses qui, vues dans ces miroirs, offrent des figures gulières; mais nous croyons en avoir dit assez sur un

bjet de pure curiosité pour lequel on peut avoir recours

API 4 1

à la catoptrique de Wolf ou aux Actes de Leipsik de 1519. On trouve dans ce dernier ouvrage la description d’une machine propre à décrire des anamorphoses pour les miroirs cylindriques et coniques.

APLATISSEMENT. (Gé d.) C’est en géntral la dif- férence des demi-axes d’une ellipse, lun d'eux étant pris pour unité. En considérant la terre comme un el- lipsoïde de révolution aplati aux pôles, son aplatisse- ment ou elliplicité & a pour expression:

a —b

GE = ———

@

a étant le rayon de l'équateur et b celui du pôle.

L'aplatissement et l’excentricité dont le carré

ab? e? Se sont donc liés par la relation

6 9 À— 7.

La valeur numérique de l’une de ces quantités se déduit ordinairement de la mesure de deux ares de mtridiens situés sous des lalitudes très-différentes, Par exemple, on sait (Voy. Recriricarrox) que si à et sont les lati-

tudes des extrémités d'un are À du méridien, lon a

A aie) [mf—7)—nsin( cos (+1)...

(|

on a parcillement

A'=a(i—et)[m(t—1)— nsin(t— costs 2-1...

Cela posé, si l’on divise ces deux expressions l'une par l’autre et que, pour abréger, l’on fasse A) —?, 1+Y—T pp, ÿ+d = on aura en définitive, 7 étant le rapport de la circonfé-

rence au diamètre,

/ 4 T f 1

2 . ———- ; = = À sin ® COS D À sin ? COS D

= + 0 dy N

c'est-à-dire à peu près le double de Paplatissement. Prenons pour application l’erc À mesuré en France par Delambre et Méchain, et l'arc A" mesuré à l’équa-

teur par Bouguer et La Condamine. Dans ce cas

As=5061983 65 AD 203 p 67299 à sshiyeir 40:58 Az 176877" de 2" 51° 9 31155 == 35 4 52

et l’on trouve, en epérant à l’aide des logarithmes à

7 décimales,

N = 31199 13,

M = 50°, 79;

d'où e? —0,005%44, el à très peu près

Il est évident que e* étant trouvé, la valeur du rayon a de l'équateur se tirerait de l’une des séries A, A’ci- dessus ; et enfin l’on aurait b « V/1 —e. C’est ains! qu'ont été déterminées les dimensions de la terre. (Voy. Terre, tom. 11.) (Article communiqué par M. Puissant.)

APPAREIL. On donne généralement ce nom, en mécanique, à tout système combinaison de parties

qui concourent à produire un effet. ARCHES. Foy. Poxrs.

ARÉOMÉTRIE (de spzss, léger, et de pirpnr, mesure). Art de mesurer la densité des Hquides.

La construction des aréomèétres des instrumens propres à faire connaître les densités relatives des li- quides repose sur cette loi hydrostatique :

Un corps solide, plongé dans un liquide quelconque perd une partie de son poids égale à celui du volume de ce li- quide qu'il déplace.

Sans remonter à la démonstration mathématique que nous ayons donnée de celte loi (tom. 11, pag. 06), par- tons d’un fait connu de tout le monde et qui peut faire comprendre facilement la théorie des aréomitres. On sait qu'un morceau de bois flotte sur l'eau tandis qu’un morceau de fer coule au fond : ce phénomène résulte des densités différentes de ce corps ; la densité de eau étant plus grande que celle du bois et plus petite que celle du fer. Ainsi, lorsque le morceau de bois dont le volume entier pèse moius qu'un volume égal d’eau s’est enfoncé de manière à déplacer un volume d’eau d'u poids égal à son poids total, il se trouve soutenu par la co- lonne d’eau inférieure qui supportait ce poids, etne peut, conséquemment, descendre davantage; le fer, au con- traire , dont le volume pèse plus qu'un volume égal d’eau, ne peut jamais Cire soutenu par la colonne d’eau inférieure et doit tomber au fond du vase. Or, si l’on plonge le même morceau de bois dans du vin ou dans tout autre liquide plus léger que l’eau, il est évident qu'il s’'enfoncera plus que dans l’eau, mais qu'il flottera cependant encore, à moins que la densité du liquide soit moindre que la sienne, cas il tombera au fond du vase, comme le fer dans l’eau. Il résulte de ces circon- stances qu’on peut comparer les densités de deux liquides d’après les volumes qu’en déplace un même corps solide pour pouvoir flotter sur l’un et sur l’autre.

Supposons, par exemple, qu’un cube d’une substance

parfaitement homogène, avant un décimètre de côté et

ARE

pesant 500 grammes, ne puisse flotter dans un certaih

liquide qu’en s’enfonçant de sa moitié, et dans un autr liquide qu’en s’enfonçant de ses trois quarts; les detk volumes de liquides déplacés pour obtenir l’équilibre pèseront chacun 500 grammes; mais le volume du pre mier liquide ne sera qu’un demi-décimètre cube 5oo centimètres cubes, tandis que celui du second se de 750 centimètres cubes. On aura donc en désignant par D la densité du premier liquide et par D’ la densité

du second D: D v750:0b00;

parce que les densités sont en raison inverse des volumes! lorsque les poids sont égaux. (Voy. Dexsiré, tom. 1, pag. 424.) ?-

Si nous supposons, en outre, que le premier liquid soit de l’eau pure, dont on prend ordinairement la den: sité pour terme de comparaison ou pour unité, cette

proportion nous donnera D’ = —— 0

et nous en conclurons que la pesanteur spécifique du sé- cond liquide est égale à 0,6666... celle l’eau étant 1

Admettons maintenant qu’on ait tracé sur le côté du, cube une échelle graduée dont les subdivisions soient, telles qu’on puisse connaître immédiatement la pesans teur spécifique d'un liquide par le chiffre de la subdis vision qui répond à la ligne de flottaison du cube ins mergé, ct nous aurons un aréomètre à poids constant, dont l'emploi n’exigera aucun calcul ultérieur. |

C’est à Robert Boyle qu’on doit les premiers perfeë tionnemens de l’aréomètre à échelle stable, construit d'apres les principes précédens. C’est lui qui en a dé- crit la forme et qui a indiqué la manière de s’en servi Cet aréomètre se compose d’un tube de verre cylindr que (PI. 1, fig. 6) terminé par une boule souflée même substance qui, par sa dimension et la légèreté de son poids, fait constamment flotter tout l'instrument dans l’eau ; sous cette boule s’en trouve une autre plus petite, remplie de mercure ou de grenaille, afin de faité plonger davantage le centre de gravité et maintenir l'it strument dans la position verticale. En place de la boull, inférieure on allonge souvent la plus grande par en baë Une échelle graduée en parties égales indique la quanë tité plus ou moins grande dont l’aréomètre plonge.

La division en parties égales de l'échelle aréométri que, conservée dans les aréomètres usuels, tels ceux de Beaumé, Cartier, Richter et autres, suppost que les changemens des densités des fluides sont pro portionnels aux augmentations des parties plongeantes du tube, ce qui n’est nullement exact; aussi, les ph siciens les plus distingués se sont-ils efforcés à l’en vi

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rfectionner l'aréomètre, non seulement dans l'intérêt : commerce, pour lequel cet instrument ne donne que » évaluations incomplètes, mais encore dans l'intérêt

la science, qui réclame dans un grand nombre de s un moyen simple et rapide d'estimer la densité des des. La difficulté de faire concorder la différence des

rties de l’aréomètre qui plongent avec les variations

s densités a été levée, pour la première fois, par isson, et nous devons nous étonner que son procédé, {sceptible d'atteindre une parfaite exactitude, ne soit s devenu d’un usage général. Voici les principes in- éntestables sur lesquels il est fondé. | Désignons par D la densité de l’eau, par d celle de tut autre liquide, par V le volume de la partie de l’a- tomètre qui plonge dans l’eau, et par v la partie qui jonge dans l’autre liquide. Le poids du volume V d’eau {ant égal au poids du volume » du second liquide, nous jrons

Nude D OU v— ŸY. _ Si nous voulons maintenant que la partie de linstru- ent qui plonge dans l’eau ait un volume égal à © ou

2. , av. il faudra nécessairement augmenter son poids |

ns le même rapport qu’on veut augmenter le volume à la partie plongeante ; c’est-à-dire que, si le poids pri- ditif qui faisait plonger le volume V est représenté par :

| D __ ce poids doit devenir P. T Pour pouvoir faire plon-

TDR r le volume Y. q > ins l'accroissement du poids pri- itif sera

M

|

HUE : . quantité P, ——- q représente donc le poids qu'il

d

it ajouter au poids primitif P pour que l’aréomitre

scende dans l’eau à la même profondeur qu'il attein- ait avec le poids P dans un liquide d’une densité in- ieure d.

A l’aide de ces principes, il est facile de graduer exac- ment l’échelle de l’aréomètre; car, faisant la densité l’eau D— 1000, le poids de l'instrument étant P—1, ur trouver le volume dont il s’enfoncera dans un li- ide d’une densité égale à 990 , on cherchera le poids ditionnel nécessaire pour qu’il s'enfonce dans l’eau

ce même volume. Ce poids est

1000 990 10

pre UM 91000 000.

d 990 990 de: FaTe 10 usi, versant dans la boule de l’aréomètre Ed de mer-

ire, et le plongeant ensuite dans l’eau, ou marquera

ARE 7 d'un trait le niveau de la partie submergée ; ce trait sera numéroté 990, et tous les liquides dans lesquels l’in- strument, avec son seul poids primitif, enfoncera jus- qu'à ce trait, auront une densité égale à 990, celle de l’eau étant 1000. On arrivera de la même maniere à la détermination des traits correspondant aux densités 980, 970, 900 , etc. , et l’on aura une échelle divisée de 10 en 10 degrés correspondant exactement avec les pe- santeurs spécifiques des liquides plus légers que l’eav. Les divisions intermédiaires seront prises proportion- nellement ; ou, pour plus d’exactitude, on les cherchera par la même méthode. Quant aux liquides plus lourds que l’eau , comme D d devient négatif, lorsque d est plus grand que D, c’est une diminution de poids qu’il faut faire subir à l'instrument si l’on veut aussi indiquer leurs densités sur l'échelle. El est essentiel de ramener les liquides qu’on essaie à une même température et principalement à celle de l'eau qui a servi à la construe- ° tion de l'échelle; Brisson avait pris pour température normale 14 degrés Réaumur.

L'échelle de Brisson peut être construite avec beau- coup d’exactitude en se servant d’un appareil très-ingé- nieux proposé par Montigny. Al (PI. 3, fig. 12) est une barre d'ivoire portée par un support mm de laiton en- tourant le vase rempli d’eau; à son extrémité supé- rieure h, est une autre barre An, disposée de manitre à pouvoir glisser du haut en bas en conservant cxacte- ment sa position horizontale. Si l’aréomètre est plongé jusqu'au point normal, la barre An doit toucher son ex- t-émité supérieure; à mesure qu’on augmente le poids, l’aréométre s'enfonce et l’on fait glisser la barre An, pour qu'elle touche encore la pointe de l'instrument ; on marque avec un crayon les points à, #, ete. détermi- nés par la position de han, et l’échelle se trouve ainsi tracée sur Al. Il suflit ensuite de la transporter sur le papier qu'on met dans le tube.

Le commerce des liquides exigeant qu’on puisse déter- miner aisément le degré de leur concentration, on s’est beaucoup occupé de la construction d’aréomètres particu- liersconnussouslesnomspopulaires de pèse liqueurs, pèse- acides, pèse-sels, pèse-sirops, etc. Tous ces instrumens ne sont que des aréomètres à échelles en parties égales for- mées entre deux points fixes dont l’un correspond géné- ralement à l’eau pure et l'autre à un mélange déter- miné. Dans l’aréomètre de Beaumé, qui est encore le plus usité, les points fixes sont l’eau pure, marquée 10 sur l'échelle, et un mélange d’une partie de sel de cuisine et de neuf parties d’eau, marquée 0. Ce physicien, après avoir divisé en 10 parties égales l'intervalle de ces deux points, conslruisit ensuite Le reste de son échelle en por- tant 4o parties pareilles au-dessus des premières; de sorte que l'échelle porte 50 divisions égales (PL 1, fig. 4). El crut pouvoir ainsi déterminer en même temps

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le degré de rectification des boissons spiritueuses et leur poids spécifique; mais, comme ces deux quantités ne varient pas dans les mêmes proportions, il chercha simplement à obtenir une ex#cte concordance des aréo- mètres, ce qui présente des difficultés insolubles par l'impossibilité de déterminer rigoureusement le degré de pureté et de sécheresse des sels employés. Si laréo- mètre de Beaumé était susceptible d’une construction toujours identique , on pourrait calculer la pesanteur spécifique des liquides d’après les degrés indiqués par cet instrument et à l’aide des pesanteurs spécifiques de l’eau pure et de l’eau salée.

Beaumé est aussi l’auteur d'un aréomètre pour les li- quides plus lourds que l’eau, Le point celui-ci plonge dans l’eau est marqué 0, et celui il plonge dans un mélange de 85 parties d’eau et de 15 parties de sel de cuisine est marqué 15. L’intervalle de ces deux points est divisé en 15 parties égales, et l'échelle se prolonge au-delà de 15 jusqu'à 50 et plus par des subdivisions égales aux premitres (PI. 1, fig. 5). On peut, à la vé- rité, peser avec cet instrument tout fluide plus lourd que l’eau et plus léger que le mercure; mais il est su- jet aux mêmes inconvéniens que le premier. Comme ces deux aréomètres indiquent d’une manière différente le point de densité de l'eau, qui est marqué 10 dans le premier ct o dans le sccond, quelques physiciens pro- posèrent, dès leur introduction , de placer générale- ment le point de densité pour l’eau à zéro, puis de choisir des degrés Cgaux au-dessus et au-dessus de ce point. Ces propositions n’obtinrent point l’assentiment général ; les Hollandais furent seuls jaloux d’avoir des aréomètres uniformes, et, en 1805, la pharmacopée ba- tave décida, conformément à la dentunde des médecins d'Amsterdam, que tous les aréomètres indiqueraient 10° au point de fa densité de Peau, dans un mélange de 9 parties d'eau et 1 partie de sel, et qu’on porterait en- suite des degrés égaux au-dessus et au-dessous de 0. On nomme de semblables instrumens aréométres hollandaïs.

Lorsque l'usage des arcomètres de Beaumé fut de- venu géntral, on réconnut bientôt qu’ils ne donnaient pas les poids spécifiques des liquides, ct plusieurs sa- vans entreprirent de calculer ces derniers pour les di- vers degrés des arcométtres et de les réunir tous deux en des tables dont on se scrt encore aujourd’hui pour passer de Pune de ces quantités à Pautre. Les travaux qui ont été exécutés pour cet objet ne doivent compter dans laréemétrie que comme ayant signalé l'état d’en- fance se trouvait alors Fa science.

Nous ne décrirons pes les divers aréométres à échelles stables, proposés par d'autres physiciens ; quelques-uns de cesinstrumens,etnotamment ceux de Mussehenbrock, Richter, Leraz-de-Lanthenée et Cartier, n’ont rien qui puisse les faire préférer aux aréomètres de Beaumé:;

correspondans ; l’un pesait 800 demi-grains de Colog

Len . 5 x A $ porté à 2000 demi-grains; mais on adopta bientôt ° 1

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quelques autres sont d’une construction beaucoup tr compliquée, ou sont destinés spécialement à des éx luations commerciales, comme l’alcoométre centésin de M. Gay-Lussae, dont l’emploi est devenu obligato: par une loi. Nous dirons seulement de ce dernier q est bien supérieur à l’aréomètre d’Atkins (PI. 2, fig. 4 qui sert en Angleterre pour lever l'impôt sur les bol sons.

Examinons maintenant une seconde classe d’aréom tres, celle des aréomètres à poids variable, bien pl propre que la précédente à donner des appréciatie exactes. La construction de ces instrumens est fond sur le principe que les densités des corps sont en rais directe de leurs poids lorsque leurs volumes sont égauæ.

Un aréomètre à poids variable se compose d’un tu mince terminé par une boule lestée de mercure, et pol à sa partie supérieure une petite coupe B (PL 1, fig. 19 destinée à recevoir le poids. Un petit bouton b pla vers le haut de la tige indique le niveau qu’on doit fa prendre à l'instrument dans tous les liquides on plonge.

Désignons par P le poids total d’un tel aréomèt# par p le poids additionnel qu’il faut placer dans la cou pour la faire descendre dans l’eau pure jusqu’au point ct par p'le poids additionnel qui donne le même u veau dans un autre fluide. Les volumes déplacés d fluides étant les mêmes et leurs poids respectifs éta P—p et P Hp, nous aurons, D et D’ Ctant les de

sites, Dub AL y

d'où, en prenant la densité de Peau pour unité,

D' =— BE + dr, |

|

Supposons, par exemple , que l'instrument 25 grammes et qu'il plonge dans l’eau pure avec poids additionnel de 2 grammes, tandis qu'ilne ploni

dans une eau salée qu'avec un poids de 4 gramme

nous aurons F

pesant. spécif, de l’eau salée = = 1,074

L’instrument que nous venons de décrire, à F renheit, a été perfectionné par G. Schmidt, qui le fit co fectionner par lhabile artiste Ciarey. Dans sa fort primitive il ne donnait pas les poids spécifiques